Darcy–Weisbachova rovnice

V hydrodynamice je Darcy–Weisbachova rovnice empirická rovnice, která vyjadřuje ztrátu výšky, tedy ztrátu tlaku vlivem viskózních smykových sil na dané délce potrubí, v závislosti na průměrné rychlosti proudění nestlačitelné kapaliny. Rovnice je pojmenována po Henrim Darcym a Juliusi Weisbachovi. V současnosti neexistuje přesnější ani univerzálněji použitelný vzorec než Darcy–Weisbachova rovnice doplněná Moodyho diagramem nebo Colebrookovou rovnicí.

Darcy–Weisbachova rovnice obsahuje bezrozměrný součinitel tření, známý jako Darcyho součinitel tření. Ten se také různě nazývá Darcy–Weisbachův součinitel tření, součinitel tření, součinitel odporu nebo průtokový součinitel.a(https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy%E2%80%93Weisbach_equation#cite_note-3)

Historické pozadí

Darcy–Weisbachova rovnice v kombinaci s Moodyho diagramem pro výpočet ztrát výšky v potrubí je tradičně připisována Henrimu Darcymu, Juliusi Weisbachovi a Lewisi Ferrymu Moodymu. Na vývoji těchto vzorců a diagramů se však v průběhu historie podíleli i další vědci a inženýři. Bernoulliho rovnice by sice ztráty výšky poskytla, ale ve veličinách, které nejsou a priori známy, například v tlacích. Proto byly hledány empirické vztahy, které by ztrátu výšky korelovaly s veličinami, jako jsou průměr potrubí a rychlost kapaliny.

Julius Weisbach rozhodně nebyl první, kdo zavedl vzorec korelující délku a průměr potrubí s druhou mocninou rychlosti kapaliny. Antoine Chézy (1718–1798) přitom již v roce 1770 publikoval vzorec, který se sice týkal otevřených koryt (tj. netlakového proudění), ale po přeformulování pomocí hydraulického poloměru byl formálně identický s tím, jejž později zavedl Weisbach. Chézyho vzorec však upadl v zapomenutí až do roku 1800, kdy Gaspard de Prony (Chézyho bývalý student) publikoval popis jeho výsledků. Je pravděpodobné, že se Weisbach o Chézyho vzorci dozvěděl prostřednictvím Pronyho publikací.

Weisbachův vzorec byl navržen v roce 1845 ve formě, kterou používáme dodnes:

ΔH=f⋅LV22gD

kde:

ΔH: ztráta výšky.
L: délka potrubí.
D: průměr potrubí.
V: rychlost kapaliny.
g: gravitační zrychlení.

Součinitel tření f však Weisbach vyjádřil následujícím empirickým vzorcem:

f=α+βV

přičemž α a β závisely na průměru a na typu stěny potrubí.

Rovnice tlakových ztrát

V válcové trubce o konstantním průměru D, plně protékané, je tlaková ztráta vlivem viskózních efektů Δp úměrná délce L a lze ji vyjádřit Darcy–Weisbachovou rovnicí:

ΔpL=fD⋅ρ2⋅⟨v⟩2DH,

kde tlaková ztráta na jednotku délky Δp/L (jednotky SI: Pa) je funkcí:

ρ, hustota kapaliny (kg/m³);

D_H, hydraulický průměr potrubí (u potrubí kruhového průřezu se rovná D; jinak D_H = 4A/P pro potrubí s průřezem o ploše A a obvodu P) (m);

⟨v⟩, střední rychlost proudění, experimentálně měřená jako objemový průtok Q na jednotku smáčené plochy průřezu (m/s);

f_D, Darcyho součinitel tření (nazývaný také průtokový součinitel λ).

Pro laminární proudění v kruhové trubci o průměru D_c je součinitel tření nepřímo úměrný pouze Reynoldsovu číslu (f_D = 64/Re), které lze vyjádřit pomocí snadno měřitelných nebo publikovaných fyzikálních veličin (viz níže). Po tomto dosazení lze Darcy–Weisbachovu rovnici přepsat jako

ΔpL=128π⋅μQDc4,

kde

μ je dynamická viskozita kapaliny (Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s));

Q je objemový průtok, zde použitý k měření průtoku místo střední rychlosti podle Q = (π/4)·D_c²·⟨v⟩ (m³/s).

Všimněte si, že tento laminární tvar Darcy–Weisbachovy rovnice odpovídá rovnici Hagen–Poiseuille, která je analyticky odvozena z Navier–Stokesových rovnic.

Vzorec pro ztrátu výšky

Ztráta výšky Δh (nebo h_f) vyjadřuje tlakovou ztrátu vlivem tření jako výšku ekvivalentního sloupce pracovní kapaliny, takže tlaková ztráta je

Δp=ρgΔh,

kde:

Δh = ztráta výšky vlivem tření v potrubí na dané délce potrubí (jednotky SI: m);b(https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy%E2%80%93Weisbach_equation#cite_note-12)

g = místní gravitační zrychlení.

Je užitečné vyjádřit ztrátu výšky na délku potrubí (bezrozměrně):

S=ΔhL=1ρg⋅ΔpL,

kde L je délka potrubí (m).

Darcy–Weisbachovu rovnici lze proto zapsat také pomocí ztráty výšky:

S=fD⋅12g⋅⟨v⟩2D.

Ve tvaru objemového průtoku

Vztah mezi střední rychlostí proudění ⟨v⟩ a objemovým průtokem Q je

Q=A⋅⟨v⟩,

kde:

Q = objemový průtok (m³/s),

A = smáčená plocha průřezu (m²).

V plně protékané kruhové trubci o průměru D_c,

Q=π4Dc2⟨v⟩.

Darcy–Weisbachova rovnice ve tvaru Q pak je

S=fD⋅8π2g⋅Q2Dc5.

Tvar se smykovým napětím

Střední smykové napětí na stěně τ v potrubí nebo otevřeném korytu se vyjadřuje pomocí Darcy–Weisbachova součinitele tření jako

τ=18fDρ⟨v⟩2.

Smykové napětí na stěně má v soustavě SI jednotku pascal (Pa).

Darcyho součinitel tření

[](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Darcy_Friction_factor_for_Re_between_10_and_10E8_for_values_of_relative_roughness.svg)

Obrázek 1. Darcyho součinitel tření v závislosti na Reynoldsově čísle pro 10 < Re < 10⁸ u hladké trubky a pro řadu hodnot relativní drsnosti ε/D. Data pocházejí od Nikuradse (1932, 1933), Colebrooka (1939) a McKeonové (2004).

Součinitel tření f_D není konstanta: závisí mimo jiné na vlastnostech potrubí (průměr D a výška drsnosti ε), vlastnostech kapaliny (kinematická viskozita ν) a rychlosti proudění ⟨v⟩. Byl změřen s vysokou přesností v řadě režimů prouděníhigh accuracy within certain flow regimes a lze jej vyhodnotit pomocí různých empirických vztahů nebo odečíst z publikovaných diagramů. Tyto diagramy se často nazývají Moodyho diagramy podle L. F. Moodyho a proto je samotný součitel někdy mylně nazýván Moodyho součitel tření. Někdy se nazývá také Blasiův součitel tření podle aproximativního vzorce, který navrhl.

Obrázek 1 ukazuje hodnotu f_D změřenou experimentátory pro řadu různých kapalin v širokém rozsahu Reynoldsových čísel a pro trubky s různou výškou drsnosti. V těchto datech se vyskytují tři široké režimy proudění: laminární, kritický a turbulentní.

Laminární režim

Pro laminární (hladké) proudění z Poiseuillova zákona (který vychází z exaktního řešení proudění) plyne, že

fD=64Re,

kde Re je Reynoldsovo číslo

Re=ρμ⟨v⟩D=⟨v⟩Dν,

a kde μ je viskozita kapaliny a

ν=μρ

je kinematická viskozita. V tomto vyjádření Reynoldsova čísla je charakteristická délka D brána jako hydraulický průměr potrubí, který se u plně protékané válcové trubky rovná vnitřnímu průměru. Na obrázcích 1 a 2 (součitel tření v závislosti na Re) režim Re < 2000 demonstruje laminární proudění; součitel tření je dobře popsán výše uvedenou rovnicí.kinematic viscosity

Ve skutečnosti je ztráta tření v laminárním režimu přesněji charakterizována jako úměrná rychlosti proudění, nikoli její druhé mocnině: mohli bychom říci, že Darcy–Weisbachova rovnice v laminárním režimu vlastně neplatí.

V laminárním proudění vzniká ztráta tření přenosem hybnosti z jádra proudu na stěnu potrubí prostřednictvím viskozity kapaliny; v proudu se nevyskytují víry. Ztráta tření přitom nezávisí na výšce drsnosti stěny ε: rychlost kapaliny v těsné blízkosti stěny je nulová.

Kritický režim

Pro Reynoldsova čísla v rozsahu 2000 < Re < 4000 je proudění nestacionární (časově se výrazně mění) a liší se od jedného průřezu potrubí k druhému (není plně vyvinuté). Proudění doprovází počáteční tvorba vírů; není dobře pochopeno.

Turbulentní režim

[](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Darcy_Friction_factor_for_Re_between_10E3_and_10E8_for_values_of_relative_roughness.svg)

Obrázek 2. Darcyho součitel tření v závislosti na Reynoldsově čísle pro 1000 < Re < 10⁸ u hladké trubky a pro řadu hodnot relativní drsnosti ε/D. Data pocházejí od Nikuradse (1932, 1933), Colebrooka (1939) a McKeonové (2004).

Pro Reynoldsova čísla vyšší než 4000 je proudění turbulentní; odpor proti proudění řídí Darcy–Weisbachovou rovnicí: je úměrný druhé mocnině střední rychlosti proudění. V oblasti mnoha řádů velikosti Re (4000 < Re < 10⁸) se součitel tření mění o méně než jeden řád (0,006 < f_D < 0,06). V rámci turbulentního režimu lze povahu proudění dále rozdělit na režim, kdy je stěna potrubí efektivně hladká, a na režim, kdy převažuje její drsnost.

Režim hladké trubky

Je-li povrch trubky hladký (křivka hladké trubky na obrázku 2), lze závislost součitele tření na Re modelovat Kármán–Prandtlovou odporovou rovnicí pro turbulentní proudění v hladkých trubkách s odpovídajícím nastavením parametrů

1fD=1.930log⁡(RefD)−0.537.

Čísla 1,930 a 0,537 jsou fenomenologická; tyto konkrétní hodnoty poskytují poměrně dobré vyhovění datům.

V Kármán–Prandtlově odporové rovnici lze f_D vyjádřit v uzavřeném tvaru jako analytickou funkci Re pomocí Lambertovy W funkce:

1fD=1.930ln⁡(10)W(10−0.5371.930ln⁡(10)1.930Re)=0.838 W(0.629 Re)

V tomto režimu proudění je za přenos hybnosti mezi jádrem kapaliny a stěnou potrubí zodpovědné velké množství malých vírů. S rostoucím Reynoldsovým číslem tření Re√f_D se profil rychlosti kapaliny ke stěně asymptoticky přibližuje, čímž na stěnu přenáší více hybnosti, jak popisuje teorie Blasiovy mezní vrstvy.

Režim drsné trubky

Je-li výška drsnosti ε povrchu trubky významná (typicky při vysokých Reynoldsových číslech), součitel tření se odchýlí od křivky hladké trubky a nakonec se blíží asymptotické hodnotě (režim drsné trubky). V tomto režimu se odpor proti proudění mění s druhou mocninou střední rychlosti a na Reynoldsovo číslo je necitlivý. Zde je užitečné zavést další bezrozměrný parametr proudění, Reynoldsovo číslo drsnosti

R∗=18(RefD)εD

kde výška drsnosti ε je vztahována k průměru potrubí D.

[](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Figure_3_\(B_vs_R*\).svg)

Obrázek 3. Funkce drsnosti B v závislosti na Reynoldsově čísle tření R. Při vykreslení tímto způsobem data leží na jediné trajektorii. Režim R < 1 je efektivně režim proudění v hladké trubce. Pro velká R* se funkce drsnosti B blíží konstantní hodnotě. Zobrazeny jsou fenomenologické funkce, které se těmto datům snaží vyhovět, včetně Afzalovy a Colebrook–Whiteovy.

Ilustrativní je vykreslit funkci drsnosti B:

B(R∗)=11.930fD+log⁡(1.908⋅εD)

Obrázek 3 ukazuje B v závislosti na R* pro data z drsných trubek Nikuradse, Shocklinga a Langelandsvika.

V tomto pohledu data s různým poměrem drsnosti ε/D splývají při vykreslení proti R, což demonstruje škálování v proměnné R. Přítomny jsou následující rysy:

Je-li ε = 0, pak R* je identicky nula: proudění je vždy v režimu hladké trubky. Data těchto bodů leží na levém kraji osy x a nejsou v rámci grafu.
Je-li R < 5, data leží na přímce B(R) = R*; proudění je v režimu hladké trubky.
Je-li R* > 100, data se asymptoticky blíží vodorovné přímce; jsou nezávislá na Re, f_D i ε/D.
Přechodný rozsah 5 < R < 100 představuje přechod mezi jedním a druhým chováním. Data se od přímky B(R) = R odchýlují velmi pomalu, dosahují maxima poblíž R = 10 a poté klesají ke konstantní hodnotě.

Afzalovo vyhovění těmto datům v přechodu od proudění v hladké trubce k proudění v drsné trubce používá exponenciální výraz v R, který zajišťuje správné chování pro 1 < R < 50 (přechod od režimu hladké trubky k režimu drsné trubky):

1fD=−2log⁡(2.51RefD(1+0.305R∗exp⁡−11R∗)),

1fD=−1.93log⁡(1.90RefD(1+0.34R∗exp⁡−11R∗)),

Tato funkce sdílí stejné hodnoty svého členu s Kármán–Prandtlovou odporovou rovnicí, plus jeden parametr 0,305 či 0,34 pro vyhovění asymptotickému chování pro R* → ∞ a jeden další parametr, 11, řídící přechod od hladkého k drsnému proudění. Je zobrazena na obrázku 3.

Součitel tření pro jinou analogickou drsnost se stane

1fD=−2log10⁡(2.51RefD{1+0.305R∗(1−exp⁡−R∗26)}),

and

1fD=−1.93log10⁡(1.91RefD{1+0.34R∗(1−exp⁡−R∗26)}),

Tato funkce sdílí stejné hodnoty svého členu s Kármán–Prandtlovou odporovou rovnicí, plus jeden parametr 0,305 či 0,34 pro vyhovění asymptotickému chování pro R* → ∞ a jeden další parametr, 26, řídící přechod od hladkého k drsnému proudění.

Vztah Colebrook–White vyhovuje součiteli tření funkcí tvaru

1fD=−2.00log⁡(2.51RefD(1+R∗3.3)).d(https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy%E2%80%93Weisbach_equation#cite_note-25)

Tento vztah má správné chování při extrémních hodnotách R, jak ukazuje popsaná křivka na obrázku 3: při malém R je konzistentní s prouděním v hladké trubce, při velkém s prouděním v drsné trubce. V přechodné oblasti však součitel tření podstatně nadhodnocuje. Colebrook rozpor s Nikuradseho daty přiznává, ale argumentuje, že jeho vztah odpovídá měřením na komerčních trubkách. Tyto trubky jsou však zcela jiné než pečlivě připravené Nikuradseho: jejich povrchy jsou charakterizovány mnoha různými výškami drsnosti a náhodným prostorovým rozdělením drsných bodů, zatímco Nikuradseho povrchy mají rovnoměrnou výšku drsnosti s extrémně hustě uspořádanými body.

Výpočet součitele tření z jeho parametrizace

Hlavní článek: Darcy friction factor formulae

Pro turbulentní proudění patří mezi metody zjišťování součitele tření f_D použití diagramu, jako je Moodyho diagram, nebo řešení rovnic jako Colebrook–Whiteova rovnice (na níž je Moodyho diagram založen) či Swamee–Jainova rovnice. Zatímco Colebrook–Whiteův vztah je v obecném případě iterační metodou, Swamee–Jainova rovnice umožňuje najít f_D přímo pro plné proudění v kruhové trubce.turbulent flow

Přímý výpočet, je-li ztráta tření S známa

V typických inženýrských aplikacích existuje sada daných nebo známých veličin. Gravitační zrychlení g a kinematická viskozita kapaliny ν jsou známy, stejně tak průměr potrubí D a výška jeho drsnosti ε. Je-li navíc ztráta výšky na jednotku délky S známou veličinou, lze součitel tření f_D vypočítat přímo ze zvolené fitovací funkce. Vyjádříme-li z Darcy–Weisbachovy rovnice odmocninu f_D,

fD=2gSD⟨v⟩

můžeme nyní vyjádřit Re√f_D:

RefD=1ν2gSD3

Vyjádříme-li Reynoldsovo číslo drsnosti R*,

R∗=εD⋅RefD⋅18=12gνεSD

máme dva parametry potřebné k dosazení do Colebrook–Whiteova vztahu, nebo kterékoli jiné funkce, pro součitel tření f_D, rychlost proudění a objemový průtok Q.

Záměna s Fanningovým součitelem tření

Darcy–Weisbachův součitel tření f_D je 4krát větší než Fanningův součitel tření f, proto je třeba dávat pozor, který z nich je v daném grafu či rovnici součitele tření míněn. Z těchto dvou používají Darcy–Weisbachův faktor f_D častěji stavební a strojní inženýrři a Fanningův faktor f inženýrři chemičtí, opatrnosti je však třeba bez ohledu na zdroj grafu či vzorce.

Note that

Δp=fD⋅LD⋅ρ⟨v⟩22=f⋅LD⋅2ρ⟨v⟩2

Většina grafů a tabulek typ součitele tření uvádí, nebo alespoň poskytuje vzorec pro součitel tření při laminárním proudění. Je-li vzorec pro laminární proudění f = 16/Re, jde o Fanningův faktor f, a je-li vzorec pro laminární proudění f_D = 64/Re, jde o Darcy–Weisbachův faktor f_D.

Který součitel tření je v Moodyho diagramu vynesen lze určit ohledáním, neuvedl-li vydavatel výše popsaný vzorec:

Zjistěte hodnotu součitele tření pro laminární proudění při Reynoldsově čísle 1000.
Je-li hodnota součitele tření 0,064, je v Moodyho diagramu vynesen Darcyho součitel tření. Nenulové číslice v čísle 0,064 přitom tvoří čitatel ve vzorci pro laminární Darcyho součitel tření: f_D = 64/Re.
Je-li hodnota součitele tření 0,016, je v Moodyho diagramu vynesen Fanningův součitel tření. Nenulové číslice v čísle 0,016 přitom tvoří čitatel ve vzorci pro laminární Fanningův součitel tření: f = 16/Re.

Uvedený postup je podobný pro jakékoli dostupné Reynoldsovo číslo, které je celočíselnou mocninou deseti. Hodnotu 1000 si při tomto postupu není třeba pamatovat — postačí, že jde o celočíselnou mocninu deseti.

Historie

Historicky tato rovnice vznikla jako varianta Pronyho rovnice; tuto variantu rozvinul Henry Darcy ve Francii a Julius Weisbach ze Saska ji v roce 1845 zdokonalil do dnešní podoby. Zpočátku chyběla data o tom, jak se f_D mění s rychlostí, takže Darcy–Weisbachova rovnice byla zpočátku v mnoha případech překonána empirickou Pronyho rovnicí. V pozdějších letech byla v mnoha speciálních situacích opuštěna ve prospěch různých empirických rovnic platných pouze pro určité režimy proudění, zejména rovnice Hazen–Williams či Manningova rovnice, z nichž většina byla při výpočtech výrazně snadněji použitelná. S rozšířením kalkulaček však snadnost výpočtu přestala být hlavní otázkou a obecnost Darcy–Weisbachovy rovnice z ní učinila preferovanou volbu.

Odvození pomocí rozměrové analýzy

Daleko od konců potrubí nezávisí charakteristiky proudění na poloze podél potrubí. Klíčovými veličinami jsou pak tlakový spád na jednotku délky Δp/L a objemový průtok. Průtok lze převést na střední rychlost proudění V vydělením smáčenou plochou proudění (která se rovná ploše průřezu, je-li potrubí zcela zaplněno kapalinou).

Tlak má rozměry energie na jednotku objemu, proto musí být tlakový rozdíl mezi dvěma body úměrný dynamickému tlaku q. Víme také, že tlak musí být úměrný délce potrubí mezi body L, protože tlakový spád na jednotku délky je konstantní. Abychom z vztahu udělali koeficient úměrnosti bezrozměrný, můžeme dělit hydraulickým průměrem potrubí D, který je podél potrubí rovněž konstantní. Proto

Δp∝LDq=LD⋅ρ2⋅⟨v⟩2

Koeficient úměrnosti je bezrozměrný Darcyho součitel tření či průtokový součitel. Tento bezrozměrný koeficient bude kombinací geometrických faktorů jako π, Reynoldsova čísla a (mimo laminární režim) relativní drsnosti potrubí (poměru výšky drsnosti k hydraulickému průměru).

Všimněte si, že dynamický tlak není kinetická energie kapaliny na jednotku objemu,laminar flow z následujících důvodů. I v případě laminárního proudění, kdy jsou všechny proudnice rovnoběžné s délkou potrubí, je rychlost kapaliny na vnitřním povrchu potrubí vlivem viskozity nulová a rychlost v centru potrubí tak musí být větší než průměrná rychlost vypočtená vydělením objemového průtoku smáčenou plochou. Průměrná kinetická energie pak zahrnuje kvadratický průměr rychlosti, který vždy převyšuje střední rychlost. V případě turbulentního proudění získává kapalina náhodné složky rychlosti ve všech směrech, včetně kolmých na délku potrubí, a turbulence tak přispívá ke kinetické energii na jednotku objemu, nikoli však k průměrné podélné rychlosti kapaliny.

Praktická aplikace

V aplikacích vodního stavitelství je typické, že kritickými faktory jsou objemový průtok Q v potrubí (tedy jeho výkonnost) a ztráta výšky na jednotku délky S (související spotřeba energie). Praktický důsledek je, že při pevném objemovém průtoku S klesá s inverzní pátou mocninou průměru potrubí D. Zdvojnásobení průměru potrubí dané řady (řekněme ANSI schedule 40) zhruba zdvojnásobí množství materiálu na jednotku délky, a tedy i pořizovací náklady. Ztráta výšky přitom klesne 32krát (přibližné o 97 %). Energie vynaložená na přepravu daného objemového průtoku kapaliny se tak dramaticky sníží za mírného zvýšení kapitálových nákladů.

Výhody

Přesnost a univerzální použitelnost čí z Darcy–Weisbachovy rovnice ideální vzorec pro proudění v potrubí. Výhody rovnice jsou následující:

Je založena na základních principech.
Je rozměrově konzistentní.
Je užitečná pro jakoukoli kapalinu, včetně oleje, plynu, slané vody a kalů.
Lze ji odvodit analyticky v oblasti laminárního proudění.
Je užitečná v přechodné oblasti mezi laminárním a plně vyvinutým turbulentním prouděním.
Chování součitele tření je dobře zdokumentováno.

Viz také

Poznámky

Hodnota Darcyho součitele tření je čtyřnásobkem Fanningova součitele tření, se kterým nesmí být zaměňován.Fanning friction factor
To souvisí s piezometrickou výškou podél potrubí.
Data však vykazují systematickou odchylku až 50 % od teoretické rovnice Hagen–Poiseuille v oblasti Re > 500 až po nástup kritického proudění.
V původně publikované podobě,

1fD=−2.00log⁡(2.511RefD+13.7εD)

References

Jones, Garr M., ed. (2006). _Pumping Station Design_ (3rd ed.). Burlington, MA: Butterworth-Heinemann. p. 3.5. ISBN 978-0-08-094106-6. OCLC 144609617.
Manning, Francis S.; Thompson, Richard E. (1991). _Oilfield Processing of Petroleum_. Vol. 1: _Natural Gas_. PennWell Books. p. 293. ISBN 0-87814-343-2.
Brown 2002, p. 35-36
Brown 2002, p. 36-37
Brown 2002, p. 35-36
Brown 2002, p. 37
Brown 2002, p. 39
Howell, Glen (1970-02-01). "3.9.2". _Aerospace Fluid Component Designers' Handbook_. Vol. I. Redondo Beach CA: TRW Systems Group. p. 87, equation 3.9.2.1e. Archived from the original on October 20, 2020 – via Defense Technical Information Center.
Rouse, H. (1946). _Elementary Mechanics of Fluids_. John Wiley & Sons.
Incopera, Frank P.; Dewitt, David P. (2002). _Fundamentals of Heat and Mass Transfer_ (5th ed.). John Wiley & Sons. p. 470 paragraph 3.
Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. (2005). _Engineering Fluid Mechanics_ (8th ed.). John Wiley & Sons. p. 379; Eq. 10:23, 10:24, paragraph 4.

1fD=2log⁡(RefD)−0.8for Re>3000.

Chaudhry, M. H. (2013). _Applied Hydraulic Transients_ (3rd ed.). Springer. p. 45. ISBN 978-1-4614-8538-4.
McKeon, B. J.; Zagarola, M. V; Smits, A. J. (2005). "A new friction factor relationship for fully developed pipe flow" (PDF). _Journal of Fluid Mechanics_. 538. Cambridge University Press: 429–443. Bibcode:2005JFM...538..429M. doi:10.1017/S0022112005005501. S2CID 15642454. Retrieved 25 June 2016.
Nikuradse, J. (1933). "Strömungsgesetze in rauen Rohren" (PDF). _V. D. I. Forschungsheft_. 361. Berlin: 1–22. In translation, NACA TM 1292. The data are available in digital form _[permanent dead link_].
Afzal, Noor (2007). "Friction Factor Directly From Transitional Roughness in a Turbulent Pipe Flow". _Journal of Fluids Engineering_. 129 (10). ASME: 1255–1267. doi:10.1115/1.2776961.
Colebrook, C. F. (February 1939). "Turbulent flow in pipes, with particular reference to the transition region between smooth and rough pipe laws". _Journal of the Institution of Civil Engineers_. London. doi:10.1680/ijoti.1939.14509.
Schlichting, H. (1955). _Boundary Layer Theory_. McGraw-Hill.
Shockling, M. A.; Allen, J. J.; Smits, A. J. (2006). "Roughness effects in turbulent pipe flow". _Journal of Fluid Mechanics_. 564: 267–285. Bibcode:2006JFM...564..267S. doi:10.1017/S0022112006001467. S2CID 120958504.
Langelandsvik, L. I.; Kunkel, G. J.; Smits, A. J. (2008). "Flow in a commercial steel pipe" (PDF). _Journal of Fluid Mechanics_. 595. Cambridge University Press: 323–339. Bibcode:2008JFM...595..323L. doi:10.1017/S0022112007009305. S2CID 59433444. Archived from the original (PDF) on 16 August 2016. Retrieved 25 June 2016.
Afzal, Noor (2011). "Erratum: Friction factor directly from transitional roughness in a turbulent pipe flow". _Journal of Fluids Engineering_. 133 (10). ASME: 107001. doi:10.1115/1.4004961.
Afzal, Noor; Seena, Abu; Bushra, A. (2013). "Turbulent flow in a machine honed rough pipe for large Reynolds numbers: General roughness scaling laws". _Journal of Hydro-environment Research_. 7 (1). Elsevier: 81–90. Bibcode:2013JHER....7...81A. doi:10.1016/j.jher.2011.08.002.
Brown, G. O. (2003). "The History of the Darcy-Weisbach Equation for Pipe Flow Resistance". In Rogers, J. R.; Fredrich, A. J. (eds.). _Environmental and Water Resources History_. American Society of Civil Engineers. pp. 34–43. doi:10.1061/40650(2003)4. ISBN 978-0-7844-0650-2.

Afzal, Noor (2013) "Roughness effects of commercial steel pipe in turbulent flow: Universal scaling". Canadian Journal of Civil Engineering 40, 188-193.